Um Unzinho que é Invisível

Cleide Farias de Medeiros & Alexandre Medeiros

Artigo publicado originalmente na revista Linha Mestra. Vol.1, N.2, 1983.

Um Unzinho que é Invisível

Este artigo estabelece considerações educacionais sobre algumas dificuldades que muitas crianças enfrentam na aprendizagem da adição e da subtração. O texto é também uma crítica a determinadas posturas assumidas pelo movimento Matemática Moderna no contexto histórico brasileiro.

É frequente a polêmica sobre o currículo de Matemática no primeiro grau. É como se todos os problemas da aprendizagem da Matemática reduzissem-se, apenas, a uma questão de currículo. Alguns alegam que no seu tempo, “a coisa era diferente, aprendia-se mais e melhor; sabia-se fazer contas”. Outros, por sua vez, alegam que antigamente pouco ou nada se aprendia de fato. Para esses, o que ocorria era a simples memorização de fórmulas e algoritmos, sem nenhuma demonstração.

As duas posições parecem-nos parciais. É preciso que se perceba em que condições históricas surgiu o ‘Movimento Matemática Moderna’ entre nós brasileiros, quais os seus objetivos e as suas limitações. O ensino da Matemática elementar, como era feito até a década de 50, era efetivamente composto de regras ‘caídas do céu’ e o seu objetivo não era propriamente a compreensão das ideias, das relações entre essas ideias; mas, efetivamente, a aquisição da destreza no cálculo aritmético, o que passava, dentre outras coisas, pela memorização forçada da tabuada. O que se convencionou chamar Matemática Moderna não era, propriamente, uma outra Matemática, mas a tentativa de expressarem-se as ideias numa forma mais precisa, partindo dos seus fundamentos alicerçados na Teoria dos Conjuntos. Em tese, partir-se-ia dela e procedendo com rigor poder-se-ia apresentar todo o edifício da Matemática. É o que se poderia chamar de uma aritmetização de toda a Matemática.

Não consideraremos aqui as sérias dificuldades com se esbarraram os matemáticos ao tentarem levar essas ideias às suas últimas consequências; diremos apenas que eles construíram realmente um quadro geral para a Matemática bem diferente daquele do século passado. Neste quadro, a Matemática não mais era vista como constituída de partes isoladas entre si. Tal construção, porém, ainda hoje está inacabada, não abrangendo toda a Matemática. Isto não tira em nada o valor e a importância da Teoria dos Conjuntos, a qual se constitui hoje em uma verdadeira linguagem para a apresentação das ideias da Matemática.

O movimento Matemática Moderna, enquanto um movimento pedagógico veio como uma tentativa de fazer um ensino em que a Matemática fosse apresentada de maneira rigorosa aos alunos, isto é, demonstrando aquilo que antes era apenas mostrado. Nisto estava presente a ideia de que sabendo demonstrar as coisas, desde cedo, o aluno aprenderia mais e melhor a Matemática. Porém, vários problemas surgiram e muitas coisas que antes não eram justificadas, passaram a ser; no entanto, isto não significou, necessariamente, um aperfeiçoamento na compreensão do aluno. Na verdade, uma tal abordagem gerou um grande aumento de abstração e a apresentação precoce de uma série de demonstrações que em tudo pareciam artificiais para grande parte dos educandos. Isso porque o ato de demonstrar não deve ser visto, apenas, do ponto de vista lógico, pois, nele estão presentes uma componente lógica e uma componente psicológica. De nada adianta a ação do professor de demonstrar algo formalmente, numa linguagem estritamente abstrata, se o educando não sente, ainda, a necessidade psicológica de tal demonstração, considerando aquelas ideias ainda de uma forma intuitiva ou ainda precisando lidar com um modelo concreto, possível formador de imagens, para guiar o seu pensamento naquele tópico ou subtópicos a ele relacionados.

É preciso questionar-se se os educandos estariam apresentando o desenvolvimento intelectual necessário para compreenderem certos raciocínios. Sem atentar-se para isso, certas demonstrações formais podem se tornar coisas estéreis e artificiais, por estarem deslocadas do tempo vivido da criança, de sua vivência na Matemática.

Esses problemas, dentre outros, fizeram com que o Movimento Matemática Moderna fosse perdendo o seu impacto inicial. Alguns experimentos envolvendo a apresentação da Matemática básica, de forma estritamente abstrata, visando as ‘estruturas elementares’ e, portanto, dentro do enfoque ‘moderno’, merecem ser citados. Um deles foi o de Papy, na Bélgica, que escreveu textos bastante difundidos em todo o mundo e outro foi o SMSG, americano. Eles tiveram a sua época na Educação Matemática; mas, já não encontram muitos adeptos pelo mundo.

No Brasil, o Movimento Matemática Moderna não chegou nem ao menos a esses termos. Na verdade, tal movimento limitou-se, entre nós, a mesclar os antigos conteúdos que já eram lecionados anteriormente com a apresentação inicial da Teoria dos Conjuntos, sem que aqueles conteúdos fossem apresentados com elos fortes com a citada teoria. Gerou-se, assim, uma certa artificialidade nas modificações curriculares empreendidas, não ficando clara para um grande número de professores a nova ordenação curricular dos conteúdos. Isto não significa dizer, porém, que eles necessariamente compreendessem a razão de ser da estrutura curricular anterior; mas, apenas, que estavam a tal modo acostumados com essa estrutura que a mesma lhes parecia natural e não apenas tradicional.

Hoje, ao pensarmos em replanejamentos curriculares, devemos pensar sobre todos esses aspectos, para não cairmos no equívoco de pensar na Teoria dos Conjuntos como uma inutilidade nem tampouco de querermos ver nela a solução para os problemas da aprendizagem da Matemática. Em verdade, apesar de todas e quaisquer modificações curriculares que se operem no papel, em termos de um currículo ideal, o que pesará bem mais será o currículo real posto em prática pelo professor. Tal currículo real está intimamente ligado ao tipo de relacionamento estabelecido entre o professor e o aluno em sala de aula. Este relacionamento é um elemento integrante e imprescindível numa reflexão acerca do ensino da Matemática e constitui-se em um aspecto fundamental a ser abordado no momento em que, preocupados, debruçamo-nos sobre os problemas inerentes a este campo.

É comum os professores falarem em ‘dar aulas’, ‘transmitirem’ o conhecimento como se no ato educativo o aluno fosse (ou devesse ser) um simples ‘objeto recebedor de estímulos’ e o professor fosse um mero ‘transmissor’. É como se o aluno também não fosse dotado de pensamentos próprios, de vontade, de desejos e de uma certa vivência a ser resgatada, explorada e desenvolvida. Tal postura educacional gera um desencontro das ideias, entre o professor e o aluno, devido à existência de um autoritarismo, por vezes sutil, na prática de ensino do professor. Este autoritarismo consiste em deliberadamente ignorar tanto os pensamentos dos alunos e os possíveis significados que eles atribuem às ideias matemáticas quanto as diferentes ordenações que eles conferem a tais ideias.

É preciso encarar o educando como um ser intelectualmente ativo, tentando encontrar no seu pensamento as melhoras formas de desenvolvimento do conteúdo matemático. Nada disso pode ser feito sem um diálogo franco e aberto entre o professor e o aluno acerca daquilo que o educando pensa a respeito das ideias matemáticas. Tais ideias encontram-se, por vezes, embutidas em sua vida diária, sendo elaboradas por ele antes ou durante o ato educativo em sala de aula.

Parece-nos importante também investigar as origens do que já nos acostumamos a chamar de erros dos alunos. Quais as formas como pensam a respeito do que lhes ensina o professor? Será mesmo que as formas de pensamento do professor são ‘óbvias’, ‘naturais’?

Os erros dos alunos têm sido considerados como sendo coisas simplesmente indesejáveis que deveriam ser evitadas a todo o custo. Não seria viável supormos que o que chamamos erros pode, por vezes, constituir-se, mais propriamente, em uma forma diferente de raciocinar, se não igualmente válida, mas indicadora de pistas para tentarmos modificar os raciocínios dos alunos? Ao invés de adotar-se tal prática no ensino, tem-se, comumente, ‘abafado’ as formas diferentes de pensar do aluno, estabelecendo-se o silêncio de sua fala. Como decorrência disso, temos um desencontro das ideias entre os professores e os alunos. É preciso que se substitua o monólogo tradicional do professor pelo diálogo em sala de aula.

Tomemos como exemplos de desencontro de ideias entre professor e aluno, acima referido, partes de uma conversa mantida, individualmente, com algumas crianças do nível de ensino fundamental sobre a soma e a subtração de alguns números.

Desencontro de ideias entre professor e aluno

Priscila, 7 anos, primeira série.

Para resolver a seguinte ‘conta’, semelhante a tantas outras encontradas em suas tarefas escolares, ela fez o seguinte:

Priscila continuou introduzindo o ‘vai um’ em todas as adições, mesmo não havendo a necessidade.

Em um outro momento, estava muito preocupada porque não sabia fazer, segundo expressou, ‘conta de menos’. A ‘conta’ solicitada na tarefa era:

 Reproduzimos a seguir um trecho da conversa:

⎯ Qual é a dificuldade que você está sentindo pra fazer esta conta?

⎯ Porque tem que botar um ‘unzinho’, senão não vai conseguir tirar. Tem que ficar 13.

⎯ Que ‘unzinho’ é esse?

⎯ Um ‘unzinho’ que é invisível. Depois ele vai diminuindo, diminuindo, até ficar invisível.

⎯ Invisível, que estória é essa?

⎯ Foi a minha tia que contou.

⎯ Ela contou que é invisível o ‘unzinho’ que tem aí?

⎯ É!

⎯ Mas, o que significa esse ‘unzinho’ que você bota aí?

⎯ Porque tem que ficar 13.

⎯ Por que?

⎯ Porque o número de cima é menor do que o de baixo e não dá pra tirar. Eu boto 13 e tiro 9.

⎯ Certo. Agora veja, você não tinha 13, você tinha 3... O que você fez quando ao invés de dizer que aí tem 3, você disse que tem 13? Você pode fazer isso?

⎯ Pode fazer isso.

⎯ Por que você pode?

⎯ Porque pode... Eu não sei porque pode... Porque é da conta mesmo isso. O ‘unzinho’ invisível participa da conta.

A respeito daquele ‘unzinho’, Priscila disse que não havia problema. Depois era só apagar. Sua forma de pensar quando explicava o que fazia ao subtrair números, era carregada de informações raramente corretas, às vezes cheia de imaginação e fantasia, e que não tinham nada a ver com as justificativas verdadeiras.

Essa forma cheia de fantasia dessa criança ao referir-se ao número um, em uma forma diminutiva, atribuindo-lhe um caráter de um ente ‘participante’ da adição como se ele tivesse, vamos dizer, vida, pode à primeira vista parecer que isto tenha ocorrido porque é típico nesta faixa etária o brincar de faz-de-conta, o soltar a imaginação em um mundo de fantasias.

Se esta for a razão, não há porque preocuparmo-nos. Mas, seria deveras preocupante, caso pudéssemos chegar à constatação de que tal fantasia seja algo resultante de uma forma de ensino em que o número fosse apresentado com mistificações advindas do professor ou do próprio livro-texto. Tais mistificações só contribuiriam para desnortear e desviar a criança do real entendimento do que é o número natural, suas propriedades, os significados subjacentes à sua representação escrita através dos numerais, a questão do valor posicional etc.

Pudemos constatar que o desencontro das ideias pretendidas pelo professor de Matemática e aquelas captadas pelo aluno não ocorre, necessariamente porque, como neste caso citado, a criança esteja iniciando a sua escolaridade, numa primeira série. A ausência de compreensão estende-se a séries posteriores, onde as dúvidas permanecem.

Crianças de séries posteriores já estão mais acostumadas aos algoritmos; mas, apenas acostumadas. Uma criança, por exemplo, de terceira série fez o seguinte, numa subtração:

Para ela, subtrair 3189 de 4656 era o mesmo que subtrair 4656 de 3189 sem a percepção de que esta última subtração não é nem mesmo possível no conjunto dos números naturais.

Embora existam particularidades nas formas de resolver as adições e subtrações apresentadas pelas crianças entrevistadas, há pontos comuns no grupo como um todo. Elas ainda não compreendiam o significado do ‘vai um’ dos algoritmos da adição e da subtração mesmo que, como é o caso de uma outra criança da terceira série, soubessem imitar o algoritmo. Elas não adicionavam ou subtraíam propriamente as quantidades; mas, sim, as ordens que fazem parte das representações daqueles números. Em um grupo de sete, seis foram capazes de ler corretamente várias representações dos números; mas, nenhuma delas captava ainda a importância do valor posicional na escrita desses números.

Conclusão

Tudo isso constitui alguns, dentre muitos exemplos possíveis de serem devidamente investigados. Eles nos indicam, porém, a importância de encararmos, na difícil tarefa de ensinarmos a Matemática elementar, a necessidade de compreendermos o ato pedagógico como um inevitável ato simultâneo de pesquisa. Este ato não se esgota no simples uso de materiais concretos como uma alternativa ao ensino tradicional; ele se renova a cada instante e precisa ser desenvolvido através do diálogo em torno dos conteúdos abordados.

Este diálogo não se esgota também na percepção que o professor constrói das ideias de seus alunos; mas, prossegue na tentativa de colocá-las em xeque, de explorar, ao máximo, os seus potenciais explicativos; enfim, na tentativa de superá-las e de fazer nascer o novo conhecimento que gostaríamos que os alunos apreendessem. Trata-se numa linguagem complicada de encararmos a ‘dialética da produção do conhecimento’, de ‘problematizarmos’ o máximo possível aquilo que o aluno pensa, numa tentativa de que as ideias matemáticas desenvolvam-se tal qual o nascimento de uma Fênix, aquele pássaro da mitologia grega que nascia de suas próprias cinzas.